Markovkedjor i kontinuerlig tid med tillämpning för motorproteiner

Abstract

En Markovkedja är en typ av stokastisk process som kan användas för att göra matematiska modeller för system vars tillstånd förändras slumpmässigt med tiden. Målet med denna avhandling har varit att fördjupa sig i Markovkedjornas rent teoretiska men också tillämpade matematik. Avhandlingen inleds med en behandling av allmän matematisk teori för Markovkedjor i kontinuerlig tid. Avsnittet fokuserar till en början på allmänna resultat som beskriver Markovkedjan och dess övergångssannolikheter. Därefter introduceras begreppet vistelsetid och dess sannolikhetsfördelning utreds. Man bygger stegvis upp en förståelse för Markovkedjans dynamik och övergår slutligen i att behandla tillräckliga villkor för den stationära fördelningens existens. Det görs genom att tillämpa resultat från teorin om Markovkedjor i diskret tid på ett lämpligt sätt. Den allmänna teorin övergår i en diskussion som behandlar ett specialfall av Markovkedjor, födelse-och dödsprocesser. Dessa är tillämpbara, exempelvis, vid populationsforskning inom biologin. Processerna definieras och kopplas till Kolmogorovs differentialekvationer med vars hjälp man kan utreda processernas beteende. Man kan konstatera att detta beteende förändras ifall ett så kallat absorberande tillstånd existerar. Vad är sannolikheten för processens absorption och vad är den förväntade tidpunkten för absorptionen om denna är en säker händelse? I slutet av avsnittet görs egna härledningar, av satser, som besvarar dessa frågor. Avhandlingens fokus förflyttas från teori till tillämpning då ett förberedande avsnitt, i form av en biologisk bakgrund till de kommande tillämpningarna, tar vid. I den delen introduceras motorproteinerna kinesin, dynein och myosin som ständigt transporterar ämnen och organeller i människokroppens celler. Man redogör även kort för nyckelexperiment som varit avgörande för forskningens utveckling på detta område. Motorproteinerna visar sig samarbeta för att effektivera transporten av ämnen i kroppen. Detta leder till att ett ekipage, bestående av ett antal dragande motorproteiner och en last, kan röra sig i antingen en eller två riktningar längs cellens vägnät. För dessa två scenarion behandlas två matematiska modeller i avhandlingen. Syftet är att synliggöra kopplingen mellan den matematiska teorin och de biologiska mästerverk som motorproteinerna utgör. Avhandlingens avslutande kapitel innehåller ett eget, omfattande implementeringsarbete av datorsimuleringar och tillhörande beräkningar. Målet är att producera och evaluera information om motorproteinernas rörelser utgående från de matematiska modellerna. Genom att tillämpa de härledda formlerna kunde man påvisa att motorproteinernas transportsträcka ökar exponentiellt med antalet motorer. Modellernas särdrag beskrivs i form av lägesgrafer och diagram över hastighets-och sannolikhetsfördelning. Utöver detta observeras en tilltalande koherens mellan simuleringarna och modellerna genom att jämföra medeltalet av 10 000 simuleringar med den teoretiskt beräknade stationära fördelningen.