Boundary identification in the domain of a parabolic partial differential equation

Abstract

Bakgrunden och inspirationen till föreliggande studie är tidigare forskning i tillämpningar på randidentifiering i metallindustrin. Effektiv randidentifiering möjliggör mindre säkerhetsmarginaler och längre serviceintervall för apparaturen i industriella högtemperaturprocesser, utan ökad risk för materielhaverier. I idealfallet vore en metod för randidentifiering baserad på uppföljning av någon indirekt variabel som kan mätas rutinmässigt eller till en ringa kostnad. En dylik variabel för smältugnar är temperaturen i olika positioner i väggen. Denna kan utnyttjas som insignal till en randidentifieringsmetod för att övervaka ugnens väggtjocklek. Vi ger en bakgrund och motivering till valet av den geometriskt endimensionella dynamiska modellen för randidentifiering, som diskuteras i arbetets senare del, framom en flerdimensionell geometrisk beskrivning. I de aktuella industriella tillämpningarna är dynamiken samt fördelarna med en enkel modellstruktur viktigare än exakt geometrisk beskrivning. Lösningsmetoder för den s.k. sidledes värmeledningsekvationen har många saker gemensamt med randidentifiering. Därför studerar vi egenskaper hos lösningarna till denna ekvation, inverkan av mätfel och något som brukar kallas förorening av mätbrus, regularisering och allmännare följder av icke-välställdheten hos sidledes värmeledningsekvationen. Vi studerar en uppsättning av tre olika metoder för randidentifiering, av vilka de två första är utvecklade från en strikt matematisk och den tredje från en mera tillämpad utgångspunkt. Metoderna har olika egenskaper med specifika fördelar och nackdelar. De rent matematiskt baserade metoderna karakteriseras av god noggrannhet och låg numerisk kostnad, dock till priset av låg flexibilitet i formuleringen av den modellbeskrivande partiella differentialekvationen. Den tredje, mera tillämpade, metoden kännetecknas av en sämre noggrannhet förorsakad av en högre grad av icke-välställdhet hos den mera flexibla modellen. För denna gjordes även en ansats till feluppskattning, som senare kunde observeras överensstämma med praktiska beräkningar med metoden. Studien kan anses vara en god startpunkt och matematisk bas för utveckling av industriella tillämpningar av randidentifiering, speciellt mot hantering av olinjära och diskontinuerliga materialegenskaper och plötsliga förändringar orsakade av “nedfallande” väggmaterial. Med de behandlade metoderna förefaller det möjligt att uppnå en robust, snabb och tillräckligt noggrann metod av begränsad komplexitet för randidentifiering.

The background and inspiration for this study is previous work with applications of boundary identification in the metals processing industry. With an efficient boundary identification method, safety margins can be narrowed and maintenance intervals extended for high-temperature industrial equipment, without increasing the risk of failure and/or casualties. Ideally, such a method would be based on monitoring some indirectly influenced variable which is routinely measured or can be measured at a low cost. Furnace wall temperature at different positions is such a variable, suitable as input for a boundary identification method assessing the instantaneous lining wall thickness of the furnace. We give a background and motivation for the choice of a spatially one-dimensional dynamical model for the boundary, i.e., a thickness description, by briefly considering the limitations of spatially two-dimensional models. Dynamics being more important for our applications than adding a spatial dimension and the advantages of the simplest formulation in possible industrial use made us choose the model formulation described in the latter parts of this work. The sideways heat equation is a related topic with many characteristics carrying over to boundary identification, which is why we considered solution properties, noise contamination, regularization and ill-posedness more generally for the sideways heat equation. For boundary identification we study a set of three different methods of estimating the boundary position, of which the two first ones have been developed from a purely mathematical standpoint and the third one from a more applied background. These methods have different characteristics with benefits and disadvantages. For the purely mathematically based methods we observed good accuracy and low computation cost, however, with low flexibility for dealing with nonlinear coefficients in the governing partial differential equation (PDE). For the third, more applied method, accuracy suffered from the ill-posedness of the more flexible formulation allowing (at least in principle) nonlinear and discontinuous coefficients in the governing PDE. Finally, we attempted to derive an error estimate, which was observed to conform with our experience from computational trials with the method. We consider the present study as a good starting point and a mathematical basis for developing industrial applications of boundary identification, particularly toward dealing with real, nonlinear and discontinuous, material properties and sudden changes due to material “fall-off”. With the methods outlined here, it seems feasible to obtain a robust, rapid and sufficiently accurate method using a reasonable amount of mathematical machinery.