Kategoriteori
Holmberg, Leo (2023)
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2023042538693
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2023042538693
Tiivistelmä
Syftet med denna pro gradu-avhandling är att beskriva grunderna av kategoriteori. De flesta områden av ren matematik kan beskrivas i termer av kategoriteori, med objekt (t.ex. ringar, topologiska rum) och morfismer dem emellan (ringhomomorfismer, kontinuerliga funktioner), som tillsammans bildar en kategori. Kategoriteori undersöker dessa kategorier i full allmänhet, och belyser vilka egenskaper av specifika kategorier som följer ur allmänna kategoriteoretiska principer och vilka som är specifika för kategorin som undersöks. Utöver detta är kategoriteori en fundamental hjälpvetenskap inom sådana områden som algebraisk geometri, algebraisk K-teori och homologisk algebra.
Avhandlingen består av två delar. Den första delen består av tre kapitel som i tur och ordning inför de tre grundläggande koncepten kategori, funktor och naturlig transformation. Den andra delen har fyra kapitel. Det första behandlar representerbara funktorer och Yonedas lemma, som är avhandlingens viktigaste enskilda resultat. De två följande behandlar (ko)gränsvärden, först, av pedagogiska skäl, specialfallet (ko)produkter, som är tämligen konkreta och enkla att förstå, och sedan (ko)gränsvärden i full allmänhet. Det sista kapitlet behandlar adjunktioner.
Avhandlingen viktigaste enskilda resultat är följande: karakteriseringen av ekvivalenser av kategorier som fullt trogna väsentligen surjektiva funktorer (Sats 3.11), Yonedas lemma (4.4), karakteriseringen av (ko)fullständiga kategorier som kategorier med (ko)produkter och (ko)difierenskärnor (6.14), karakteriseringen av adjunktioner i termer av enheter och koenheter (7.13) och karakteriseringen av (ko)gränsvärden i termer av adjointer av en viss funktor (7.16). Avhandlingens huvudmål är dock inget specifikt resultat, utan utvecklingen av teorin som helhet.
Den huvudsakliga källan är Emily Riehls bok Category Theory in Context ([4]), vars första fyra kapitel fungerar som källa för största delen av avhandlingen. Mindre delar av avhandlingen baserar sig på Tom Leinsters Basic Category Theory ([2]), Birgit Richters From Categories to Homotopy Theory ([3]) och Chapter 1 av Nathan Jacobsons Basic Algebra II ([1]).
Avhandlingen består av två delar. Den första delen består av tre kapitel som i tur och ordning inför de tre grundläggande koncepten kategori, funktor och naturlig transformation. Den andra delen har fyra kapitel. Det första behandlar representerbara funktorer och Yonedas lemma, som är avhandlingens viktigaste enskilda resultat. De två följande behandlar (ko)gränsvärden, först, av pedagogiska skäl, specialfallet (ko)produkter, som är tämligen konkreta och enkla att förstå, och sedan (ko)gränsvärden i full allmänhet. Det sista kapitlet behandlar adjunktioner.
Avhandlingen viktigaste enskilda resultat är följande: karakteriseringen av ekvivalenser av kategorier som fullt trogna väsentligen surjektiva funktorer (Sats 3.11), Yonedas lemma (4.4), karakteriseringen av (ko)fullständiga kategorier som kategorier med (ko)produkter och (ko)difierenskärnor (6.14), karakteriseringen av adjunktioner i termer av enheter och koenheter (7.13) och karakteriseringen av (ko)gränsvärden i termer av adjointer av en viss funktor (7.16). Avhandlingens huvudmål är dock inget specifikt resultat, utan utvecklingen av teorin som helhet.
Den huvudsakliga källan är Emily Riehls bok Category Theory in Context ([4]), vars första fyra kapitel fungerar som källa för största delen av avhandlingen. Mindre delar av avhandlingen baserar sig på Tom Leinsters Basic Category Theory ([2]), Birgit Richters From Categories to Homotopy Theory ([3]) och Chapter 1 av Nathan Jacobsons Basic Algebra II ([1]).
Kokoelmat
- 111 Matematiikka [38]