Hur väl approximerar Bernsteinpolynom olika funktioner?

Abstract

År 1885 publicerades den numera välkända Weierstrass’ sats som säger att en kontinuerlig funktion i ett begränsat och slutet intervall kan approximeras likformigt på intervallet med ett polynom. Av satsen framgår dock inte hur detta polynom kan bestämmas. Bernstein, som var en ukrainsk matematiker, gav ut ett konstruktivt bevis på denna sats år 1912. Det som är intressant med hans bevis är att det faktiskt visar utseendet hos en följd av polynom som approximerar en given kontinuerlig funktion på ett slutet intervall. En generalisering av Bernsteins bevis gjordes av Bohmann och Korovkin som visade att det räcker att granska om begränsade operatorer har konvergensegenskaper för funktionerna 1, x och x, för att det också ska gälla för alla andra kontinuerliga funktioner. I den här avhandlingen redogörs hur väl Bernsteins polynom approximerar olika typer av funktioner. Som exempel kan nämnas funktioner som är konvexa, Lipschitzkontinuerliga, deriverbara eller styckevis kontinuerliga på ett slutet intervall. Som avslutning på avhandlingen behandlas Bézier-kurvor som är en praktisk tillämpning av Bernsteins baspolynom. Bézier-kurvor tillämpas vid design av olika objekt eller former.