Hitting times in urn models and occupation times in one-dimensional diffusion models
Stenlund, David (2020-09-11)
Stenlund, David
Åbo Akademi - Åbo Akademi University
11.09.2020
Publikationen är skyddad av upphovsrätten. Den får läsas och skrivas ut för personligt bruk. Användning i kommersiellt syfte är förbjuden.
Publikationens permanenta adress är
https://urn.fi/URN:ISBN:978-952-12-3954-0
https://urn.fi/URN:ISBN:978-952-12-3954-0
Abstrakt
The main subject of this thesis is certain functionals of Markov processes. The thesis can be said to consist of three parts. The first part concerns hitting times in urnmodels, which are Markov processes in discrete time. In particular, the expected timeto absorption in the Mabinogion model is studied. For instance, we give formulas for the expected time to absorption as a function of the initial state of the process, both in the ordinary Mabinogion model and under a strategy that solves an optimal control problem. The second part of the thesis is about occupation times of one-dimensional diffusions, which are continuous Markov processes. We give a recursive formula for the moments of the occupation time on the positive real line, in the case that the diffusion has a self-similar property, or for the Laplace transform of the moments, in case of a general diffusion. The recurrence is based on the Green kernel of the diffusion. In the third part of the thesis, we give results on some combinatorial summation identities that are connected to the other presented results. These include double sums with ratios of binomial coefficients, as well as sums involving Stirling numbers of both first and second kind.
--------------------
Den här avhandlingen handlar huvudsakligen om vissa funktionaler av Markovprocesser. Det är fråga om processer som varierar slumpmässigt med tiden, men med den speciella egenskapen att den framtida utvecklingen beror enbart av det nuvarandevärdet hos processen och inte på tidigare värden. Denna “minneslösa” egenskap medför att Markovprocesser ofta är en användbar typ av stokastiska processer. De aspekter hos processerna som här undersöks har främst att göra med tiden. Dels undersöks så kallade träfftider, som innebär tiden det tar innan processen uppnår ett visst värde. Dels behandlas vistelsetider, som i sin tur anger hur lång tid som processen befinner sig inom ett visst område. I avhandlingen betraktas speciellt momenten av dessa tidsfunktionaler.
Avhandlingen kan sägas bestå av tre huvudavsnitt. Det första handlar om träfftider i urnmodeller, som är Markovprocesser i diskret tid. I synnerhet behandlas den så kallade Mabinogionmodellen. Den kan beskrivas som att man gör slumpmässiga dragningar ur en låda innehållande svarta och vita kulor, och varje gång lägger man till en kula av den dragna färgen men tar samtidigt bort en av motsatt färg. Antalet svarta respektive vita kulor kommer då att variera med antalet gjorda dragningar, men förr eller senare kommer samtliga kulor att vara av samma färg och då upphörprocessen. I avhandlingen ges uttryck för den förväntade tiden tills detta absorberandetillstånd uppnås, som en funktion av processens starttillstånd, både när det gäller den vanliga Mabinogionmodellen och när man tillämpar en strategi som löser ett visst optimeringsproblem. Resultaten jämförs också med den förväntade träfftiden i en annan urnmodell, den så kallade Ehrenfestmodellen.
Det andra huvudavsnittet berör vistelsetider för diffusioner, som är Markovpro-cesser i kontinuerlig tid. Ett typexempel på en diffusionsprocess är det som kallas Brownsk rörelse, som kan användas för att beskriva små partiklars rörelse i en vätska, men som även tillämpas inom många andra områden, exempelvis finansmatematiken. Här behandlas endimensionella diffusionsprocesser, och bland annat ges en rekursivformel för momenten av vistelsetiden på de positiva reella talen i det fall att diffusionen uppfyller en viss skalningsegenskap, eller för Laplacetransformen av momenten när diffusionen är helt godtycklig. Rekursionsformeln baserar sig på den Greenska kärnan hos diffusionen. Resultaten tillämpas framför allt på skeva Besselprocesser, vilket i det fallet leder till en explicit och relativt enkel momentformel.
I det tredje och sista huvudavsnittet behandlas kombinatoriska summationsformler som anknyter till de övriga resultaten i avhandlingen. Å ena sidan handlar detta om ändliga dubbelsummor där termerna består av kvoter av binomialkoefficienter, som med hjälp av hypergeometriska funktioner kan skrivas om och i vissa fall förenklasbetydligt. Å andra sidan betraktas summor som innehåller Stirlingtal av såväl första som andra slaget, och här ges nya bevis för några formler med sådana uttryck. Bevisen är baserade på den erhållna rekursionsformeln för momenten av den positiva vistelsetiden hos skeva Besselprocesser.
Resultaten presenteras främst i de fyra artiklar som ingår i doktorsavhandlingen. Den inledande delen är ämnad att fungera dels som en introduktion till ämnet, med bakgrundsinformation som kan behövas för att ta del av innehållet i artiklarna, dels även som en sammanfattning och övergripande diskussion.
--------------------
Den här avhandlingen handlar huvudsakligen om vissa funktionaler av Markovprocesser. Det är fråga om processer som varierar slumpmässigt med tiden, men med den speciella egenskapen att den framtida utvecklingen beror enbart av det nuvarandevärdet hos processen och inte på tidigare värden. Denna “minneslösa” egenskap medför att Markovprocesser ofta är en användbar typ av stokastiska processer. De aspekter hos processerna som här undersöks har främst att göra med tiden. Dels undersöks så kallade träfftider, som innebär tiden det tar innan processen uppnår ett visst värde. Dels behandlas vistelsetider, som i sin tur anger hur lång tid som processen befinner sig inom ett visst område. I avhandlingen betraktas speciellt momenten av dessa tidsfunktionaler.
Avhandlingen kan sägas bestå av tre huvudavsnitt. Det första handlar om träfftider i urnmodeller, som är Markovprocesser i diskret tid. I synnerhet behandlas den så kallade Mabinogionmodellen. Den kan beskrivas som att man gör slumpmässiga dragningar ur en låda innehållande svarta och vita kulor, och varje gång lägger man till en kula av den dragna färgen men tar samtidigt bort en av motsatt färg. Antalet svarta respektive vita kulor kommer då att variera med antalet gjorda dragningar, men förr eller senare kommer samtliga kulor att vara av samma färg och då upphörprocessen. I avhandlingen ges uttryck för den förväntade tiden tills detta absorberandetillstånd uppnås, som en funktion av processens starttillstånd, både när det gäller den vanliga Mabinogionmodellen och när man tillämpar en strategi som löser ett visst optimeringsproblem. Resultaten jämförs också med den förväntade träfftiden i en annan urnmodell, den så kallade Ehrenfestmodellen.
Det andra huvudavsnittet berör vistelsetider för diffusioner, som är Markovpro-cesser i kontinuerlig tid. Ett typexempel på en diffusionsprocess är det som kallas Brownsk rörelse, som kan användas för att beskriva små partiklars rörelse i en vätska, men som även tillämpas inom många andra områden, exempelvis finansmatematiken. Här behandlas endimensionella diffusionsprocesser, och bland annat ges en rekursivformel för momenten av vistelsetiden på de positiva reella talen i det fall att diffusionen uppfyller en viss skalningsegenskap, eller för Laplacetransformen av momenten när diffusionen är helt godtycklig. Rekursionsformeln baserar sig på den Greenska kärnan hos diffusionen. Resultaten tillämpas framför allt på skeva Besselprocesser, vilket i det fallet leder till en explicit och relativt enkel momentformel.
I det tredje och sista huvudavsnittet behandlas kombinatoriska summationsformler som anknyter till de övriga resultaten i avhandlingen. Å ena sidan handlar detta om ändliga dubbelsummor där termerna består av kvoter av binomialkoefficienter, som med hjälp av hypergeometriska funktioner kan skrivas om och i vissa fall förenklasbetydligt. Å andra sidan betraktas summor som innehåller Stirlingtal av såväl första som andra slaget, och här ges nya bevis för några formler med sådana uttryck. Bevisen är baserade på den erhållna rekursionsformeln för momenten av den positiva vistelsetiden hos skeva Besselprocesser.
Resultaten presenteras främst i de fyra artiklar som ingår i doktorsavhandlingen. Den inledande delen är ämnad att fungera dels som en introduktion till ämnet, med bakgrundsinformation som kan behövas för att ta del av innehållet i artiklarna, dels även som en sammanfattning och övergripande diskussion.
Collections
- 111 Matematik [12]