fi=111 Matematiikka|sv=111 Matematik|en=111 Mathematics|
https://www.doria.fi:443/handle/10024/91534
2024-03-29T08:53:42ZDifferent Types of Weighted Composition Operators on Banach Spaces of Analytic Functions
https://www.doria.fi:443/handle/10024/187071
Different Types of Weighted Composition Operators on Banach Spaces of Analytic Functions
Norrbo, David
Many problems in real life are, at least approximatively, of linear nature and can be mathematically examined with the aid of linear spaces. It is natural to measure the size of objects occurring in the problems and such an operation is called a norm. If the space and the norm fit well together, they constitute a Banach space. A norm associates every vector with a nonnegative number or infinity, and the Banach space consists of those vectors whose associated number is finite. Different norms give rise to different Banach spaces.
In this dissertation, which contains three articles, different types of weighted composition operators on Banach spaces, consisting of analytic functions defined on the unit disc of the complex plane, are examined. Since the vectors are functions, there are two basic linear operations to consider. One way to modify the vector is by multiplying it with another function. Such an operator is said to be a multiplication operator if it is well defined. Another way to modify the vector is to first transform the input via a function and make the original vector act on the modified input. Such a transformation is done by a composition operator, since the resultant vector is a composition of the original vector and the function transforming the input. A combination of a multiplication operator and a composition operator is said to be a weighted composition operator.
In one of the articles, a certain class of integral operators on weighted Bergman spaces are examined. The exact value of the essential norm of such operators, which can be represented as a mean of weighted composition operators, is calculated. Another article deals with the connection between some operator-theoretic properties of a weighted composition operator on the Banach space BMOA and the behaviour of corresponding functions. Compactness, weak compactness and complete continuity are examined. In the so far not mentioned article, the spectrum and essential spectrum are determined for multiplication operators on some Banach spaces.; Många naturligt förekommande problem i verkligheten kan lämpligen beskrivas matematiskt med hjälp av vektorrum. Det är vanligt att man vill kunna mäta storleken av en vektor; att förse ett vektorrum med en sådan operation (norm), ger oss ett så kallat Banachrum, givet att normen och rummet samarbetar väl. En given norm ger alla vektorer ett värde, större än eller lika med noll, eller oändligt. De med ändlig norm utgör det så kallade Banachrummet. Olika normer ger upphov till olika Banachrum.
I denna avhandling, som väsentligen består av tre artiklar, undersöks olika varianter av så kallade viktade kompositionsoperatorer på olika Banachrum bestående av funktioner, analytiska på den öppna enhetsdisken i det komplexa talplanet. Eftersom vektorerna är funktioner, existerar det två enkla typer av linjära operationer. Den enklaste är att förändra värdet av funktionen genom att multiplicerar den med en annan funktion. En sådan transformation kan utföras av en linjär operator, en så kallad multiplikationsoperator. Förutom värdet, kan indatat till funktionen förändras. Denna typ av transformation görs av en så kallad kompositionsoperator. Kombineras dessa två linjära operationer fås en viktad kompositionsoperator.
I en av artiklarna betraktas bland annat viktade Bergmanrum och den väsentliga normen av en klass integraloperatorer bestäms. Dessa operatorer kan uttryckas som ett kontinuerligt medeltal av viktade kompositionsoperatorer. Det är även intressant att veta hurudana funktioner som, vid bildandet av en viktad kompositionsoperator, ger upphov till vissa operatorteoretiska egenskaper hos operatorn. I en annan av de inkluderade artiklarna karakteriseras de funktioner som genererar en kompakt (compact), svagt kompakt (weakly compact) respektive fullständigt kontinuerlig (completely continuous) operator på Banachrummet BMOA. Vissa egenskaper av en linjär operator kan erhållas från dess så kallade spektrum, vilket berättar när en skalär förskjutning av operatorn är inverterbar. Det sista resultatet som behandlas i avhandlingen är spektrumet och väsentliga spektrumet av en multiplikationsoperator på vissa Banachrum.
2023-05-16T07:33:12ZApplications of Max-Plus Algebra to Scheduling
https://www.doria.fi:443/handle/10024/180897
Applications of Max-Plus Algebra to Scheduling
Al Bermanei, Hazem Abdul Abbas
Max-plus algebra provides mathematical theory and techniques for solving nonlinear problems that can be given the form of linear problems, when arithmetical addition is replaced by the operation of maximum and arithmetical multiplication is replaced by addition. Problems of this kind are sometimes of a managerial nature, arising in areas such as manufacturing, transportation, allocation of resources and information processing technology. Max-plus algebra also provides the linear algebraic background to the rapidly developing field of tropical mathematics.
The aim of this thesis is to provide an introductory text to max-plus algebra and to present results on advanced topics and, in particular, how it is useful in applications. An overview of the basic notions of the max-plus algebra and max-plus linear discrete event systems (DES) is presented.
Train networks can be modelled as a directed graph, in which nodes correspond to arrivals and departures at stations, and arcs to traveling times. A particular difficulty is represented by meeting conditions in a single-track railway system. The stability and sensitivity of the timetable is analyzed, and different types of delays and delay behavior are discussed. Interpretation of the recovery matrix is also done. A simple train network with real-world background is used for illustration. Compared to earlier work, which typically includes numerical optimization, this study is fully done by using max-plus algebra.
In this thesis, the scheduling of production systems consisting of many stages and different units is considered, where some of the units can be used for various stages. If a production unit is used for various stages cleaning is needed in between, while no cleaning is needed between stages of the same type. Cleaning of units takes a significant amount of time, which is considered in the scheduling. The goal is to minimize the total production time, and such problems are often solved by using numerical optimization. In this thesis, the possibilities for using max-plus for the scheduling are investigated. Structural decisions, such as choosing one unit over another, proved to be difficult. Scheduling of a small production system consisting of 6 stages and 6 units is used as a case study.
Traffic systems, computer communication systems, production lines, and flows in networks are all based on discrete event systems and, thus, can be conveniently described and analyzed by means of max-plus algebra. Max-plus formalism can be used for modeling of train network and production systems.
----------
Max-plusalgebran tillhandhåller matematisk teori och teknik för lösning av icke-linjära problem som kan ges linjär form genom att vanlig aritmetisk addition ersätts av maximumoperationen medan aritmetisk multiplikation ersätts av addition. Problem av detta slag är ofta av organisatorisk natur. De uppträder på områden som tillverkningsindustri, transport, resurstilldelning och informationsbehandling. Maxalgebran utgör även den linjär-algebraiska bakgrunden till det snabbt växande området tropisk matematik.
Ändamålet med denna avhandling är att tillhandahålla en inledning till max-plusalgebran och presentera resultat av mer avancerad natur och i synnerhet visa hur den är användbar i tillämpningar. Grundbegreppen i max-plusalgebran och teorin för maxpluslinjära händelsedrivna system (Discrete Event Systems, DES) presenteras.
Tågnätverk kan modelleras som en orienterad graf där noderna representerar ankomster till och avgångar från stationer, medan kanterna svarar mot restider mellan stationerna. En speciell svårighet innebär modelleringen av enspåriga tågsystem där tåg gående i olika riktningar måste mötas. En tågtidtabells stabilitet och känslighet diskuteras, liksom olika typer av förseningar och strategier för att korrigera dessa. Återställningsmatrisen presenteras och tolkningen av den diskuteras. Teorin illustreras med hjälp av ett enkelt tågnätverk med verklighetsbakgrund.
En viktig tillämpning är tidsoptimeringen av produktionssystem bestående av många olika stadier och olika produktionsenheter (maskiner). Av enheterna kan en del användas för olika stadier i processen. I så fall måste de dock rengöras mellan de olika produktionsskedena. Däremot krävs ingen rengöring om enheten inte byter uppgift. Rengöringen tar en viss tid som måste beaktas i modelleringen. Målet är att minimera den totala produktionstiden. Detta har i litteraturen oftast gjorts med numerisk optimering. I denna avhandling har möjligheten att använda maxplusteknik undersökts. Strukturella beslut, såsom att besluta vid vilken tidpunktbyte av uppgift (och rengöring) ska göras, visade sig svåra att direkt modellera som ett maxplusproblem. För hela produktionsprocessen utvecklades därför ett hybridsystem med maxplusalgebraiska subproblem som central ingrediens. Tidtabellen för ett litet produktionssystem med 6 produktionsskeden och 6 produktionsenheter illustrerar tekniken.
Trafiksystem, datakommunikationssystem, produktionssystem och nätverksflöden baserar sig på DES och kan därför med fördel beskrivas och analyseras med hjälp av max-plusalgebra.
2021-04-27T10:17:20ZHilbert matrix, Volterra and weighted composition operators on Banach spaces of analytic functions
https://www.doria.fi:443/handle/10024/179985
Hilbert matrix, Volterra and weighted composition operators on Banach spaces of analytic functions
Wikman, Niklas
Avsikten med denna avhandling är att studera två klassiska linjära integraloperatorer, Hilbertmatrisoperatorn H och den generaliserade Volterraoperatorn Tϕg mellan Banachrum av analytiska funktioner på den öppna enhetsdisken i det komplexa talplanet. Den exakta normen av Hilbertmatrisoperatorn undersöks i viktade Bergmanrum Apα för olika värden på parametrarna α och p. Božin och Karapetrović fann den exakta normen av Hilbertmatris operatorn på oviktade Bergmanrum A p då 2 < p < 4. I denna avhandling förenklas deras bevis och med hjälp av den nya bevismetoden generaliseras detta resultat partiellt till viktade Bergmanrum. Normen av Hilbertmatrisoperatorn undersöks också på Korenblumrum H∞vβ. Ett resultat gällande viktade kompositionsoperatorer används för att få ett partiellt resultat gällande normen av Hilbertmatrisoperatorn på H∞vβ
.
För den generaliserade Volterra operatorn undersöks operatorteoretiska egenskaper, såsom begränsning, kompakthet och svag kompakthet såväl på rummet av begränsade analytiska funktioner som på rummet av begränsade analytiska funktioner med vikt samt på Bloch-liknande rum. Avsikten är att relatera dessa egenskaper till egenskaper hos de inducerande symbolerna g och ϕ.
2020-11-27T08:17:47ZHitting times in urn models and occupation times in one-dimensional diffusion models
https://www.doria.fi:443/handle/10024/177860
Hitting times in urn models and occupation times in one-dimensional diffusion models
Stenlund, David
The main subject of this thesis is certain functionals of Markov processes. The thesis can be said to consist of three parts. The first part concerns hitting times in urnmodels, which are Markov processes in discrete time. In particular, the expected timeto absorption in the Mabinogion model is studied. For instance, we give formulas for the expected time to absorption as a function of the initial state of the process, both in the ordinary Mabinogion model and under a strategy that solves an optimal control problem. The second part of the thesis is about occupation times of one-dimensional diffusions, which are continuous Markov processes. We give a recursive formula for the moments of the occupation time on the positive real line, in the case that the diffusion has a self-similar property, or for the Laplace transform of the moments, in case of a general diffusion. The recurrence is based on the Green kernel of the diffusion. In the third part of the thesis, we give results on some combinatorial summation identities that are connected to the other presented results. These include double sums with ratios of binomial coefficients, as well as sums involving Stirling numbers of both first and second kind.
--------------------
Den här avhandlingen handlar huvudsakligen om vissa funktionaler av Markovprocesser. Det är fråga om processer som varierar slumpmässigt med tiden, men med den speciella egenskapen att den framtida utvecklingen beror enbart av det nuvarandevärdet hos processen och inte på tidigare värden. Denna “minneslösa” egenskap medför att Markovprocesser ofta är en användbar typ av stokastiska processer. De aspekter hos processerna som här undersöks har främst att göra med tiden. Dels undersöks så kallade träfftider, som innebär tiden det tar innan processen uppnår ett visst värde. Dels behandlas vistelsetider, som i sin tur anger hur lång tid som processen befinner sig inom ett visst område. I avhandlingen betraktas speciellt momenten av dessa tidsfunktionaler.
Avhandlingen kan sägas bestå av tre huvudavsnitt. Det första handlar om träfftider i urnmodeller, som är Markovprocesser i diskret tid. I synnerhet behandlas den så kallade Mabinogionmodellen. Den kan beskrivas som att man gör slumpmässiga dragningar ur en låda innehållande svarta och vita kulor, och varje gång lägger man till en kula av den dragna färgen men tar samtidigt bort en av motsatt färg. Antalet svarta respektive vita kulor kommer då att variera med antalet gjorda dragningar, men förr eller senare kommer samtliga kulor att vara av samma färg och då upphörprocessen. I avhandlingen ges uttryck för den förväntade tiden tills detta absorberandetillstånd uppnås, som en funktion av processens starttillstånd, både när det gäller den vanliga Mabinogionmodellen och när man tillämpar en strategi som löser ett visst optimeringsproblem. Resultaten jämförs också med den förväntade träfftiden i en annan urnmodell, den så kallade Ehrenfestmodellen.
Det andra huvudavsnittet berör vistelsetider för diffusioner, som är Markovpro-cesser i kontinuerlig tid. Ett typexempel på en diffusionsprocess är det som kallas Brownsk rörelse, som kan användas för att beskriva små partiklars rörelse i en vätska, men som även tillämpas inom många andra områden, exempelvis finansmatematiken. Här behandlas endimensionella diffusionsprocesser, och bland annat ges en rekursivformel för momenten av vistelsetiden på de positiva reella talen i det fall att diffusionen uppfyller en viss skalningsegenskap, eller för Laplacetransformen av momenten när diffusionen är helt godtycklig. Rekursionsformeln baserar sig på den Greenska kärnan hos diffusionen. Resultaten tillämpas framför allt på skeva Besselprocesser, vilket i det fallet leder till en explicit och relativt enkel momentformel.
I det tredje och sista huvudavsnittet behandlas kombinatoriska summationsformler som anknyter till de övriga resultaten i avhandlingen. Å ena sidan handlar detta om ändliga dubbelsummor där termerna består av kvoter av binomialkoefficienter, som med hjälp av hypergeometriska funktioner kan skrivas om och i vissa fall förenklasbetydligt. Å andra sidan betraktas summor som innehåller Stirlingtal av såväl första som andra slaget, och här ges nya bevis för några formler med sådana uttryck. Bevisen är baserade på den erhållna rekursionsformeln för momenten av den positiva vistelsetiden hos skeva Besselprocesser.
Resultaten presenteras främst i de fyra artiklar som ingår i doktorsavhandlingen. Den inledande delen är ämnad att fungera dels som en introduktion till ämnet, med bakgrundsinformation som kan behövas för att ta del av innehållet i artiklarna, dels även som en sammanfattning och övergripande diskussion.
2020-08-17T11:05:26Z