Constructive Perspectives on Inductive Logic

Abstract

Constructive (intuitionist, anti-realist) semantics has thus far been lacking an adequate concept of truth in infinity concerning factual (i.e., empirical, non-mathematical) sentences.

One consequence of this problem is the difficulty of incorporating inductive reasoning in constructive semantics. It is not possible to formulate a notion for probable truth in infinity if there is no adequate notion of what truth in infinity is. One needs a notion of a constructive possible world based on sensory experience. Moreover, a constructive probability measure must be defined over these constructively possible empirical worlds.

This study defines a particular kind of approach to the concept of truth in infinity for Rudolf Carnap's inductive logic. The new approach is based on truth in the consecutive finite domains of individuals. This concept will be given a constructive interpretation. What can be verifiably said about an empirical statement with respect to this concept of truth, will be explained, for which purpose a constructive notion of epistemic probability will be introduced.

The aim of this study is also to improve Carnap's inductive logic. The study addresses the problem of justifying the use of an "inductivist" method in Carnap's lambda-continuum. A correction rule for adjusting the inductive method itself in the course of obtaining evidence will be introduced. Together with the constructive interpretation of probability, the correction rule yields positive prior probabilities for universal generalizations in infinite domains.

Työssä tutkitaan havaintoja koskevien väitelauseiden totuutta tilanteissa, joissa havaintojen määrällä ei ainakaan tiedetysti ole ylärajaa.

Filosofian ja matematiikan alaan kuuluvassa konstruktiivisessa semantiikassa eli merkitysteoriassa lauseiden merkitys määräytyy niiden todennettavuusehtojen perusteella. Äärettömän havaintomaailman tapauksessa todennettavuusehto on hankalasti muotoiltavissa, koska tällaista maailmaa koskevia yleistyksiä ei yleisessä tapauksessa voi todentaa.

Tämä on yhteydessä myös induktion ongelmaan, joka koskee päättelyä menneisyyden havainnoista tulevaisuuteen. Induktiivinen päättely ei ”säilytä totuutta” siinä mielessä, että tosista oletuksista tehtävä johtopäätös ei ole tosi loogisella välttämättömyydellä, vaan korkeintaan todennäköisesti tosi.

Työssä esitetään Rudolf Carnapin (1891-1970) induktiivisen logiikan sovelluksena, kuinka äärettömiä havaintomaailmoja koskevien lauseiden totuus voidaan muotoilla konstruktiivisten periaatteiden mukaisesti. Kukin ääretön havaintoprosessi on ”vapaalakinen” jono peräkkäisiä havaintoja, joiden muodostaman kokonaisuuden ominaisuuksia ei voida tietää prosessin äärellisissä vaiheissa. Voidaan kuitenkin tietää, vastaako prosessin annettu äärellinen vaihe jonkin ennalta määritellyn havaintojonon äärellistä vaihetta. Näin voidaan määrittää lauseen konstruktiivinen todennäköisyys äärettömille havaintojonoille: se on niiden ennalta määrättyjen havaintojonojen äärellisten vaiheiden todennäköisyyksien raja-arvo, jotka toteuttavat lauseen kussakin äärellisessä vaiheessaan tietystä vaiheesta alkaen. Tämän todennäköisyyskäsitteen ominaisuuksia tutkitaan suhteessa Carnapin esittämään asymptoottisen todennäköisyyden käsitteeseen.

Lisäksi työssä tutkitaan mahdollisuutta määrittää todennäköisyys äärettömyydessä eräänlaisten havaintojonojen joukkojen eli ympäristöjen avulla. Tämän todetaan olevan ristiriidassa sen kanssa, että havaintojonoja koskevat lauseet olisivat konstruktiivisesti tosia äärettömyydessä.

Induktiivisessa logiikassa lauseiden todennäköisyys määräytyy ns. induktiivisen menetelmän avulla laskettujen todennäköisyyksien mukaan. Ongelma on, että annettuun tilanteeseen parhaiten soveltuvaa induktiivsta menetelmää ei tiedetä. Etenkään ei tiedetä, onko sellainen induktiivinen menetelmä kaikkein paras, joka ei anna lainkaan painoarvoa havaitulle evidenssille esimerkiksi siten että sata havaittua mustaa korppia lisäisi 101. mustan korpin todennäköisyyttä.

Työssä käsitellään myös oikean induktiivisten menetelmän valitsemisen ongelmaa ja päädytään siihen, että toisen kertaluvun todennäköisyydet eivät tarjoa tähän ratkaisua. Sen sijaan induktiivisen menetelmän itsensä päivitys annetun evidenssin nojalla tuottaa tietyin reunaehdoin annettua menetelmää paremman induktiivisen menetelmän.

Toisin kuin Carnapin alkuperäisessä järjestelmässä, induktiivisen menetelmän päivitys ja konstruktiivinen semantiikka yhdessä mahdollistavat nollasta poikkeavat todennäköisyydet empiirisille yleistyksille (kuten ”kaikki korpit ovat mustia”).