Jumping numbers of a simple complete ideal in a two-dimensional regular local ring

Abstract

The multiplier ideals of an ideal in a regular local ring form a family of ideals parametrized by non-negative rational numbers. As the rational number increases the corresponding multiplier ideal remains unchanged until at some point it gets strictly smaller. A rational number where this kind of diminishing occurs is called a jumping number of the ideal.

In this manuscript we shall give an explicit formula for the jumping numbers of a simple complete ideal in a two dimensional regular local ring. In particular, we obtain a formula for the jumping numbers of an analytically irreducible plane curve. We then show that the jumping numbers determine the equisingularity class of the curve.

Väitöskirja kuuluu algebrallisen geometrian alaan. Väitöskirjassa tutkitaan algebrallisten tasokäyrien erikoispisteitä eli singulariteetteja. Se liittyy erikoispisteiden tutkimuksen kannalta tärkeään kertojaideaalien teoriaan, joka on tällä hetkellä vilkkaasti kehittyvä tutkimusala.

Joukko tietyn pisteen kautta kulkevia tasokäyriä määrää ideaalin. Tasokäyrään tai yleisemmin ideaaliin voidaan liittää rationaalisesta parametrista riippuva kokoelma ns. kertojaideaaleja. Tämä kokoelma on täysin järjestetty sillä tavoin, että parametrin kasvaessa vastaava kertojaideaali pienenee. Pieneneminen tapahtuu kuitenkin hyppäyksittäin. Niinpä parametria kasvatettaessa kertojaideaali pysyy muuttumattomana kunnes parametri saavuttaa seuraavan hyppäyskohdan, jolloin kertojaideaali muuttuu pienemmäksi. Hyppäyskohtia vastaavia parametrin arvoja kutsutaan hyppyluvuiksi.

Yleisesti ottaen hyppylukuja on kovin työlästä laskea ja siksi on tavoiteltavaa löytää niille kaava lähtien tunnetuista singulariteettien numeerisista invarianteista. Väitöskirjan päätulos esittää eksplisiittisen kaavan kaksiulotteisen säännöllisen lokaalin renkaan täydellisen yksinkertaisen ideaalin hyppyluvuille. Tästä johdetaan kaava analyyttisesti jaottoman tasokäyrän hyppyluvuille. Hyppylukujen joukon ominaisuuksista, joita esitellään useissa seurauslauseissa, merkittävimpiin kuuluu se, että tämä joukko määrää kyseisen tasokäyrän erikoispisteen topologisen tyypin.

Tietoja väittelijästä:

Tarmo Järvilehto on syntynyt 1965 Jyväskylässä. Hän kirjoitti ylioppilaaksi Tampereen lyseon lukiosta 1984 ja valmistui filosofian lisensiaatiksi Helsingin yliopistosta 2001. Tarmo Järvilehto on myös aktiivisesti konsertoiva pianisti. Hän sai III palkinnon Maj Lind pianokilpailussa 1988 ja valmistui musiikin maisteriksi Sibelius-Akatemiasta 1993, missä hän on harjoittanut myös taiteellisia jatko-opintoja. Soolokonserteissaan hän on esittänyt mm. kaikki Ludwig van Beethovenin pianosonaatit. Lisäksi hän on tehnyt useita radionauhoituksia Yleisradiolle mm. Franz Lisztin Transsendenttiset etydit, jotka hän myös esitti Espoon kansainvälisillä pianoviikoilla 2003. Tällä hetkellä hän työskentelee pianonsoiton lehtorina Lahden konservatoriossa.