Idealähtöistä koulualgebraa : IDEAA-opetusmallin kehittäminen algebran opetukseen peruskoulun 7. luokalla

Abstract

This research is based on the problems in secondary school algebra I have noticed in my own work as a teacher of mathematics. Algebra does not touch the pupil, it remains knowledge that is not used or tested. Furthermore the performance level in algebra is quite low.

This study presents a model for 7th grade algebra instruction in order to make algebra more natural and useful to students. I refer to the instruction model as the Idea-based Algebra (IDEAA). The basic ideas of this IDEAA model are 1) to combine children's own informal mathematics with scientific mathematics ("math math") and 2) to structure algebra content as a "map of big ideas", not as a traditional sequence of powers, polynomials, equations, and word problems.

This research project is a kind of design process or design research. As such, this project has three, intertwined goals: research, design and pedagogical practice. I also assume three roles. As a researcher, I want to learn about learning and school algebra, its problems and possibilities. As a designer, I use research in the intervention to develop a shared artefact, the instruction model. In addition, I want to improve the practice through intervention and research.

A design research like this is quite challenging. Its goals and means are intertwined and change in the research process. Theory emerges from the inquiry; it is not given a priori. The aim to improve instruction is normative, as one should take into account what "good" means in school algebra. An important part of my study is to work out these paradigmatic questions.

The result of the study is threefold. The main result is the instruction model designed in the study. The second result is the theory that is developed of the teaching, learning and algebra. The third result is knowledge of the design process. The instruction model (IDEAA) is connected to four main features of good algebra education: 1) the situationality of learning, 2) learning as knowledge building, in which natural language and intuitive thinking work as "intermediaries", 3) the emergence and diversity of algebra, and 4) the development of high performance skills at any stage of instruction.

Algebra on ongelmallinen osa-alue peruskoulun yläluokkien matematiikassa. Se jää monille oppilaille ulkokohtaiseksi ja irralliseksi, sillä ei ole käyttöä koulun ulkopuolella eikä sitä yhdistetä muuhun matematiikan opiskeluun. Algebraa myös opitaan huonosti.

Tässä tutkimuksessa kehitetään peruskoulun 7. luokan algebran opetukseen opetusmallia, jolla algebra pyritään tekemään oppilaille luonnolliseksi ja käyttökelpoiseksi, mallia kutsutaan IDEAA-malliksi, idealähtöiseksi algebraksi. Mallin perusperiaatteet ovat: 1) vahvistetaan oppilaan oman, epämuodollisen matematiikan yhteyttä "oikeaan" matematiikkaan ja 2) jäsennetään algebran sisällöt muutaman keskeisen idean varaan lähtien algebran käyttötilanteista. "Oikea" matematiikka tarkoittaa, että algebrassa suoritetaan "oikeita" laskutoimituksia, lausekkeita lasketaan yhteen, vähennetään, kerrotaan luvuilla, verrataan jne. Laskutoimituksia ei palauteta lausekkeiden sieventämiseksi, sulkeiden poistamiseksi tai samanmuotoisten termien yhdistämiseksi.

Tutkimus on opetuksen kehittämistutkimusta, design-tutkimusta, jossa teorian kehittäminen, käytännön toiminta ja tuotteen kehittäminen tapahtuvat samanaikaisesti ja vastavuoroisesti. Tutkimuksen tekijä toimii kolmessa roolissa, tutkijana, tuotekehittelijänä ja käytännön toimijana ja tutkimuksessa haetaan kolmenlaista tietoa: tietoa tutkimusprosessista, aihekohtaista tietoa algebrasta ja sen oppimisesta ja opetuksesta sekä tietoa kehitettävästä tuotteesta.

Perinteisessä algebran opetuksessa oppisisältöjä, opiskelua ja oppimista jäsennetään hierarkkisilla ja lineaarisilla malleilla. Oppisisällöt rakennetaan lineaariseksi sarjaksi: potenssit - polynomit - yhtälöt - sovellukset, näitä osavaiheita harjoitellaan erikseen. Opiskelu etenee yksinkertaisista rutiinitehtävistä, nimistön opettelusta ja lausekkeiden sieventämisestä, soveltamiseen ja ongelmanratkaisuun. Matemaattista ajattelua pyritään kehittämään vaiheittain menetelmällisestä tiedosta käsitteelliseen, operationaalisesta ajattelusta strukturaaliseen.

IDEAA-malli tarjoaa algebran opetukseen hajautetun vaihtoehdon. Oppisisältöjä opiskellaan samanaikaisesti, ei erillisinä vaiheina. Korkeamman tason ajattelun ja ongelmanratkaisun taitoja kehitetään opiskelun kaikissa vaiheissa. Laskutaidot opitaan algebran käytössä. Oppilaita ohjataan alusta alkaen algebrallisten lausekkeiden strukturaaliseen tarkasteluun. Symbolikielellä kirjoitetut lausekkeet ja lauseet eivät ole vain suoritettavia tehtäviä vaan myös asiantilojen ja matematiikan sääntöjen kuvauksia.

IDEAA-opetusmallissa opetustilanteet nähdään eräänlaisena mestari-oppipoika -asetelmana, jossa oppilaita tutustutetaan myös matemaattiseen kulttuuriin ja ekspertin matemaatikon ajattelutapoihin. Algebra tuodaan oppilaille uutena innovaationa: algebra on tehokas työväline ongelmien ratkaisemisessa ja sen avulla voidaan oppia matematiikan lainalaisuuksia. Opetuksen tavoitteet ovat näin kuvattavissa oppilaille. Oppilaalle algebra ei ole valmis hankittava tietokokoelma vaan rakennettava tuote. Jotta algebra tulisi oppilaalle luonnolliseksi ja omaksi, siinä täytyy olla kehkeytyvää, emergenttiä, ainesta ja "tartuntakahvoja". "Tartuntakahvoina" toimivat tuttu kieli, konkreettinen puhetapa, intuitiivinen ajattelu ja "tavallinen" päättely.